Después de dos años de trabajo, el sitio Skytopia publica su interpretación del fractal de Mandelbrot en 3D. Como sabrán, un fractal es una estructura o figura en donde cada sub-elemento reproduce la forma del conjunto total.

En particular, el fractal de Mandelbrot se obtiene de un subconjunto de los números complejos que obedecen a una secuencia matemática definida por Benoît Mandelbrot. De las infinitas secuencias posibles, algunas son acotadas y definen la frontera del fractal, mientras otras no y son representadas con colores progresivamente más claros para indicar cuán rápido divergen.

El renderizado de fractales de Mandelbrot en 2D solía ser un desafío para los computadores ochenteros, y ha sido incorporado hasta la actualidad en varios benchmarks. Por su belleza y complejidad esta estructura siempre ha causado fascinación a los entendidos y los no tanto.  Sin embargo, desde que empezaron a recurrir al poder computacional para dibujar esta figura, el santo grial de los especialistas ha sido diseñar y renderizar una versión tridimensional.

Mandelbrot en 2D

Pasar este fractal a 3D es un desafío nada sencillo. Mal que mal, los números complejos son definidos como un par ordenado en el eje real y el eje imaginario: a nadie se le ocurrió meter un tercer eje, por lo que no hay una extensión evidente como podría ser el paso del círculo a la esfera. Eso sencillamente no rige para los números complejos.

Las soluciones preliminares incluyeron simples rotaciones del fractal 2D en torno a un eje, pero eso no da una figura de la riqueza deseada. Un enfoque posterior ha consistido en la reintepretación de las coordenadas polares para números complejos cosa de extenderlas a coordenadas esféricas

Los experimentos no llevaron a nada útil: la interpretación 3D de la secuencia de Mandelbrot arrojaba unas figuras que no tenían nada de fractal. Sin embargo, por esas coincidencias de la vida, alguien sugirió cambiar la potencia de la relación de inducción -originalmente cuadrática- a algún otro número y ocurrió el milagro: con potencias de 8 o 16 empezaron a desarrollar figuras increíbles de excepcional belleza tridimensional, que podrán ver en la galería incorporada en este artículo.

Aunque es una técnica inventada como hobby, hay múltiples aplicaciones para la investigación de Skytopia.  No sólo nos parece oportuno integrar este renderizado a los más exigentes benchmarks computacionales de la actualidad, sino que corresponde investigar si acaso la interpretación tridimensional de los números complejos puede abrir un nuevo campo matemático, quien sabe.

Voy a cerrar con el dato freak del día:  el trabajo de Skytopia tomó forma para completar las investigaciones inconclusas que Rudy Rucker -un matemático de la San Jose State University, ya retirado- dejó sobre el fractal de Mandelbrot en 3D. En 1987 no había computador en la tierra capaz de renderizar una de estas figuras, de modo que Rucker sólo podía suponer cómo sería. Su trabajo se publicó con el título  ”As Above, So Below“. Esta frase se inspira en la Tableta Esmeralda o Tabula Smaradigma de Hermes Trimegisto, una de las bases de los cultos herméticos y la alquimia del medioevo.  En su estapa más sicótica, el escritor de ciencia ficción Phillip K. Dick escribió: “Tanto es de arriba como es de abajo. Hermes Trimegisto sabía que el universo es un holograma”.

Link: Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal (Skytopia)